Matematica: esponenziali e logaritmi

Come funzionano i logaritmi?

I logaritmi e gli esponenziali costituiscono una presenza costante fra i quesiti di matematica del test di ammissione della Bocconi e, nonostante possano sembrare, soprattutto i logaritmi, un qualcosa di impossibile, spesso la risoluzione è più facile del previsto. Per introdurre i logaritmi è necessario prima capire bene gli esponenziali, perché le due cose vanno di pari passo, capito uno si capisce anche l’altro.

Un’equazione esponenziale è un’equazione in cui l’incognita compare all’esponente. Indicati con a e b due numeri reali, l’equazione esponenziale elementare è: ax=b. La risoluzione consiste, quando è possibile, nel trasformare b in una potenza di a, per poi trasformare l’uguaglianza fra potenze in un’uguaglianza fra esponenti.

Prendendo come esempio 2x=1, per risolverlo bisogna trovare il valore di x tale per cui 2x risulti uguale a b = 1. In questo caso la soluzione è semplice: qualsiasi numero elevato a 0 dà come risultato 1. Fin qui tutto liscio… Data quindi l’equazione esponenziale elementare ax=b, ora possiamo introdurre i tanto temuti logaritmi.

Dati due numeri positivi a e b (con a ≠ 1), definiamo logaritmo in base a del numero b l’esponente da attribuire alla base a per ottenere il numero b: logab se e solo se ax=b, log24 =2 se e solo se 22=4. E adesso un po’ di proprietà di cui non potete fare a meno se volete essere più tranquilli il giorno del test:

• logab esiste se e solo se sono verificate tre condizioni: a > 0 a ≠ 1 b > 0
• il logaritmo di un numero negativo non esiste nell’insieme dei numeri reali
• il logaritmo dell’unità è sempre nullo, qualsiasi sia la base: loga1 =0 ↔a0=1
• il logaritmo della base è sempre uguale all’unità: a =1 ↔a1=a
• se a > 1, il logaritmo di un numero positivo minore di 1 è negativo, mentre quello di un numero positivo maggiore di 1 è positivo
• se 0 < a < 1, il logaritmo di un numero positivo minore di 1 è positivo, mentre quello di un numero positivo maggiore di 1 è negativo

Adesso sapete le proprietà, ma mancano ancora i teoremi: il logaritmo del prodotto di due o più numeri positivi è uguale alla somma dei logaritmi dei singoli fattori: log(b*c)= logab + logac

• il logaritmo del quoziente di due numeri positivi è uguale alla differenza tra il logaritmo del numeratore e quello del denominatore: log(b/c) = logab-logac
• il logaritmo della potenza di un numero positivo è uguale al prodotto dell’esponente per il logaritmo della base della potenza: log(bm)=m*logab
• il logaritmo della radice di un numero positivo è uguale al prodotto reciproco dell’indice per il logaritmo del radicando: log(n√b) = 1/n*logab

Ultimi due suggerimenti:

• log x equivale a x
• ln x equivale a x , dove e è il numero di Nepero e vale circa 2,71828…

ESERCIZIO 1 È data l’equazione 2x2=16. L’insieme di tutte le sue soluzioni reali è:

A) + 2

B) + 4

C) √log28

D) ± 2

E) -1/2 ln 16+ 1/2 ln 16

Correzione commentata: L’esercizio propone un’equazione esponenziale, che può essere facilmente risolta scrivendo anche il secondo membro come potenza di 2: 2x2=16 → 2x2=24 Poiché due potenze aventi la stessa base sono uguali, quando hanno anche lo stesso esponente, l’equazione esponenziale si riduce ad una semplice equazione di secondo grado x2=4, che ammette come soluzione i valori ± 2. Risposta corretta D.

ESERCIZIO 2 Il logaritmo log a/b =0 implica:

A) a = 0

B) a = b

C) b = 0

D) a = 0 e b = 0

E) a = 1/b

Correzione commentata: Affinché un logaritmo sia nullo, il suo argomento deve essere unitario: log a/b =0=log 1→ a/b=1→ a=b. Risposta corretta B.