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1 settembre 2021
3 minuti di lettura
I logaritmi e gli esponenziali costituiscono una presenza costante fra i quesiti di matematica del test di ammissione della Bocconi e, nonostante possano sembrare, soprattutto i logaritmi, un qualcosa di impossibile, spesso la risoluzione è più facile del previsto. Per introdurre i logaritmi è necessario prima capire bene gli esponenziali, perché le due cose vanno di pari passo, capito uno si capisce anche l’altro. Un’equazione esponenziale è un’equazione in cui l’incognita compare all’esponente. Indicati con a e b due numeri reali, l’equazione esponenziale elementare è: ax=b La risoluzione consiste, quando è possibile, nel trasformare b in una potenza di a, per poi trasformare l’uguaglianza fra potenze in un’uguaglianza fra esponenti. Prendendo come esempio 2x=1, per risolverlo bisogna trovare il valore di x tale per cui 2x risulti uguale a b = 1. In questo caso la soluzione è semplice: qualsiasi numero elevato a 0 dà come risultato 1. Fin qui tutto liscio… Data quindi l’equazione esponenziale elementare ax=b, ora possiamo introdurre i tanto temuti logaritmi. Dati due numeri positivi a e b (con a ≠ 1), definiamo logaritmo in base a del numero b l’esponente da attribuire alla base a per ottenere il numero b: logab se e solo se ax=b log24 =2 se e solo se 22=4 E adesso un po’ di proprietà di cui non potete fare a meno se volete essere più tranquilli il giorno del test:
Adesso sapete le proprietà, ma mancano ancora i teoremi: il logaritmo del prodotto di due o più numeri positivi è uguale alla somma dei logaritmi dei singoli fattori: log(b*c)=logab + logac
Ultimi due suggerimenti:
ESERCIZIO 1 È data l’equazione 2x2=16. L’insieme di tutte le sue soluzioni reali è:
Correzione commentata: L’esercizio propone un’equazione esponenziale, che può essere facilmente risolta scrivendo anche il secondo membro come potenza di 2: 2x2=16 → 2x2=24 Poiché due potenze aventi la stessa base sono uguali, quando hanno anche lo stesso esponente, l’equazione esponenziale si riduce ad una semplice equazione di secondo grado x2=4, che ammette come soluzione i valori ± 2 Risposta corretta D. ESERCIZIO 2 Il logaritmo log a/b =0 implica:
Correzione commentata: Affinché un logaritmo sia nullo, il suo argomento deve essere unitario: log a/b =0=log 1→ a/b=1→ a=b Risposta corretta B.
Come funzionano i logoraritmi?