Trigonometria: Il teorema fondamentale della trigonometria e formule principali

Con la Pillola di oggi si conclude la serie di Trigonometria! Abbiamo voluto raccogliere gli argomenti fondamentali più importanti da ricordare per affrontare al meglio la temutissima trigonometria al test, fatene tesoro! L’ultima puntata di questa serie è breve ma di fondamentale importanza. Vi presenteremo infatti il teorema fondamentale della trigonometria, importantissimo per risolvere diversi tipi di esercizi al test, e vi riporteremo qualche formula trigonometrica utile da ricordare.  

Teorema fondamentale della trigonometria

Il teorema (o identità) fondamentale della trigonometria è una relazione tra il seno e il coseno (inserire link alla pillola seno e coseno quando pubblicata sul sito) di un angolo che – non si scappa – è importante ricordare a memoria. In particolare, secondo il teorema fondamentale della trigonometria la somma del quadrato del seno di un angolo e del quadrato del coseno dello stesso angolo è sempre uguale a 1: $$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$ L’importanza di questa identità – e soprattutto la sua grande utilità per gli esercizi del test – sta nel fatto che stabilisce la  relazione tra il seno e il coseno di uno stesso angolo. A partire dal teorema fondamentale, infatti, possiamo esprimere il coseno di un angolo in termini del suo seno e viceversa: $$\sin\alpha=\pm\sqrt{1-\cos^2\alpha}$$ $$\cos\alpha=\pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}$$  

Le principali formule trigonometriche

Di seguito trovate le formule per la somma e la sottrazione degli archi: $$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\alpha\pm\cos\alpha\sin\beta$$ $$\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\pm\sin\alpha\sin\beta$$ $$\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}$$  

Applicazioni

Il nostro consiglio è che impariate le  formule sopra riportate a memoria, in modo da poterle applicare facilmente e velocemente il giorno del test! Noterete infatti che queste formule si rivelano particolarmente utili per affrontare esercizi come equazioni goniometriche, disequazioni goniometriche o sistemi di equazioni goniometriche. Vediamo insieme come attraverso qualche esercizio.

Esercizio 1

Delle seguenti relazioni soltanto una è corretta. Quale?

1. sen(x) + cos(x) = 1
2. sen2x = 2sen(x)cos(x)
3. tan(x) = cos(x) / sen(x)
4. sen(x) – cos(x) = 1
5. Nessuna relazione è corretta

Correzione commentata

Le opzioni A ed E non rispettano l’identità fondamentale della trigonometria, sono quindi necessariamente errate. Anche l’opzione C è errata, infatti la formula della tangente di un angolo corrisponde al rapporto tra il suo seno e il suo coseno, non viceversa.  Applicando la formula per la somma di due archi congruenti otteniamo la relazione proposta dall’opzione B, che risulta essere quindi quella corretta. RISPOSTA CORRETTA B  

Esercizio 2

Sapendo che un angolo x si trova nel quarto quadrante della circonferenza goniometrica e che cos(x) = ⅙ , quanto vale sen(x) ?

1. √35/6
2. 6/√35
3. – 6/√35
4. – 4/6
5. – √35/6

Correzione commentata

Essendo l’angolo x nel quarto quadrante della circonferenza goniometrica, possiamo escludere subito le opzioni A e B: il seno di un angolo nel quarto quadrante è sempre negativo! Per trovare il valore richiesto dal quesito applichiamo la formula: $$\sin x = -\sqrt{1-\cos^2x}=-\sqrt{1-\frac{1}{36}}=\sqrt{\frac{35}{36}}=-\frac{\sqrt{35}}{6}$$ RISPOSTA CORRETTA E