Benvenuti nella seconda puntata di questa serie di Pillole, in cui cercheremo di frammentare la temutissima trigonometria in argomenti più semplici e brevi per aiutarvi a comprenderli a fondo e ad affrontare il test con un po’ meno ansia. In questo articolo si parla di due fondamentali funzioni trigonometriche: il seno e il coseno.

Definizioni

Indicate con sen(ɑ) e cos(ɑ), il seno e il coseno sono funzioni che associano un valore compreso tra -1 e 1 a ciascun angolo della circonferenza goniometrica (anche detta circonferenza unitaria). Per comprendere meglio le definizioni più dettagliate di queste due funzioni, iniziamo con il visualizzare la circonferenza goniometrica. Tracciamo una semiretta dal centro della circonferenza (che coincide con l’origine degli assi). Si formerà un angolo, che chiamiamo ɑ e che possiamo esprimere in gradi o in radianti, compreso tra l’asse delle x e la semiretta tracciata. Chiamiamo P il punto associato all’angolo ɑ, che sarà definito da una specifica coppia di ascissa e da una ordinata (xP, yP).

Il seno di un angolo

In parole povere, il seno di un angolo ɑ non è altro che l’ordinata del suo punto associato P, yP. Data questa definizione, possiamo quindi definire la funzione seno: $$y=sen(x)$$ Questa funzione associa ad ogni valore di x il seno dell’angolo x in radianti. Considerando che gli angoli sono definiti all’interno della circonferenza goniometrica, è importante ricordare che l’angolo x e l’angolo x + 2π avranno lo stesso punto associato P e quindi lo stesso seno! Per questo motivo, diciamo che la funzione del seno è periodica di periodo 2π:

Il coseno di un angolo

Intuitivamente, definiamo ora il coseno di un angolo ɑ come l’ascissa del suo punto associato, xP. Definiamo la funzione: $$y=cos(x)$$ Esattamente come nel caso del seno, la funzione coseno associa ad ogni valore di x il coseno dell’angolo x in radianti. Anche la funzione del coseno, per lo stesso motivo che abbiamo illustrato precedentemente, è periodica di periodo 2π: Le differenze nei grafici delle funzioni seno e coseno sono quindi spiegate dalle loro definizioni. Infatti, ricordate che se x = 0, il suo punto associato si troverà sull’asse delle ascisse e avrà coordinate (0, 1).

Da imparare a memoria!

Come proposto anche nella prima pillola di questa serie, di seguito trovate uno schema che riassume gli angoli più importanti della circonferenza goniometrica e che ne riporta i valori del seno e del coseno. Vi consigliamo vivamente di impararli a memoria! Vi sarà utilissimo al test e non solo.  

Mettetevi alla prova

Ecco un paio di domandine! Provate a rispondere per fissare bene in mente questi concetti.

Esercizio 1

Il seno e il coseno:

1. Si misurano in radianti
2. Si misurano in gradi
3. Si misurano in centimetri
4. Non hanno alcuna unità di misura
5. Si misurano in π

Correzione commentata

Il seno e il coseno sono grandezze adimensionali. Questo vuol dire che non hanno alcuna unità di misura associata al loro valore. Risposta corretta D

Esercizio 2

Nella circonferenza unitaria, il seno e il coseno di un angolo sono entrambi negativi se l’angolo si trova:

1. Nel primo quadrante
2. Nel secondo quadrante
3. Nel terzo quadrante
4. Nel quarto quadrante
5. Il seno e il coseno non possono essere negativi

Correzione commentata

Ricordiamo che il seno è l’ordinata del punto associato ad un angolo e che il coseno ne è l’ascissa. Ricordiamo anche che la circonferenza goniometrica (o unitaria) è definita nel piano cartesiano e il suo centro coincide con l’origine degli assi (0; 0). L’unica opzione corretta è quindi il terzo quadrante, dove sia le x sia e y sono minori di 0. P.S.: Avete letto la pillola sulla “CAST” Rule? Potrebbe esservi utile per risolvere questo tipo di esercizi 😉 Risposta corretta C

Esercizio 3

Il seno di quale angolo è uguale a 3/2?

1. 3π
2. π
3. 180° + 2kπ
4. π/6
5. Nessuna risposta è corretta

Correzione commentata

Se ricordiamo che il valore del seno è definito nell’intervallo (-1; 1), capiamo subito che non esiste nessun angolo il cui seno sia maggiore di 1. Risposta corretta E