Cos’è questa logica matematica che fa tanta paura?
È, ovviamente, una branca della logica, che utilizza un linguaggio simbolico e adotta un sistema di calcolo di tipo algebrico per esaminare le espressioni di un discorso deduttivo. Le espressioni analizzate vengono considerate come “oggetti grafici” combinabili tra loro (sintassi) o in relazione al loro significato (semantica).
Proposizioni
La logica è quindi la redazione e soprattutto la comprensione di proposizioni, le quali possono essere VERE o FALSE. V/F sono gli unici due stati possibili della proposizione. Partiamo subito con un esempio per capire bene il concetto degli stati Vero e Falso:- il prato del parco è fuscia a strisce
- 2 + 2 = 4
- vorrei un gelato
- preferisco il mare alla montagna
Connettivi
Capito cosa sono le proposizioni, facciamo adesso un passo in avanti. Le proposizioni possono diventare più complesse combinandosi tra di loro attraverso i connettivi, che sono “e”, “o”, “se… allora”, “non” e così via. I connettivi servono per unire due o più proposizioni per creare un enunciato, ossia la composizione di più proposizioni. Per fare subito un esempio:- Se ci saranno almeno 28º allora Giulia farà il bagno in piscina → si tratta di un enunciato creato dal connettivo “Se… allora”
- Alle 18 devo uscire: o vado in moto o vado in macchina → si tratta di un enunciato con il connettivo “o”
I simboli della logica matematica
Per evitare incomprensioni e incongruenze gli studiosi hanno inventato un “alfabeto” di simboli semplice, chiaro e uguale per tutti: questo alfabeto simbolico serve a costruire le frasi. Non vi preoccupate prima del tempo, certi simboli saranno nuovi e dovrete comprenderli, ma molti altri, come ad esempio l’uguale (=) è un simbolo di questo alfabeto, che però conoscete già benissimo.- 2×2 = 4 → è una formula sintatticamente corretta
- 2 = -+5 → è una formula sintatticamente non corretta
- 2x(3+6) = 50 → è una formula sintatticamente corretta
- ¬ : indica il “non” cioè nega la proposizione. A volte viene anche indicato con una barra orizzontale sopra la lettera indicante la proposizione.
- ˄ : designa l’ “e” come congiunzione.
- ˅ : indica l’ “o” come disgiunzione.
- → : è utilizzata per indicare l’implicazione.
- Simboli per indicare le proposizioni: A, B, C, …
- Simboli accessori come le parentesi: ( )
Focus: VERO o FALSO
Purtroppo definire quando una proposizione è vera e quando è falsa non è sempre così semplice: per questo motivo vengono in nostro aiuto le Tavole della Verità. Ricordandosi queste tavole sarà poi molto più veloce e semplice arrivare a dire se una proposizione è vera o falsa! Facciamo adesso qualche esercizio per entrare nel vivo di queste proposizioni.ESERCIZIO 1
Date le proposizioni- Francesco prende il motorino
- Francesco va al bar
ESERCIZIO 2
Date le proposizioni- Martina va al cinema
- Luca va al cinema
CORREZIONE COMMENTATA
- Dalla tabella di verità della congiunzione, a ∧ b è vera se Francesco compie entrambe le azioni, mentre è falsa se Francesco non compie almeno una delle due azioni. Risposta corretta D.
- A ↔ B: Martina va al cinema se e solo se Luca va al cinema. Dalla tabella della verità dell’equivalenza, A ↔ B è vera se, per esempio, Martina e Luca non vanno al cinema (A e B false). La A ↔ B è falsa se, per esempio, Martina va al cinema (A vera) e Luca non ci va (B falsa). Risposta corretta C.