I logaritmi e gli esponenziali costituiscono una presenza costante fra i quesiti di matematica del test di ammissione della Bocconi e, nonostante possano sembrare, soprattutto i logaritmi, un qualcosa di impossibile, spesso la risoluzione è più facile del previsto.
Per introdurre i logaritmi è necessario prima capire bene gli esponenziali, perché le due cose vanno di pari passo, capito uno si capisce anche l’altro.
Un’equazione esponenziale è un’equazione in cui l’incognita compare all’esponente. Indicati con a e b due numeri reali, l’equazione esponenziale elementare è: ax=b
La risoluzione consiste, quando è possibile, nel trasformare b in una potenza di a, per poi trasformare l’uguaglianza fra potenze in un’uguaglianza fra esponenti.
Prendendo come esempio 2x=1, per risolverlo bisogna trovare il valore di x tale per cui 2x risulti uguale a b = 1. In questo caso la soluzione è semplice: qualsiasi numero elevato a 0 dà come risultato 1.
Fin qui tutto liscio…
Data quindi l’equazione esponenziale elementare ax=b, ora possiamo introdurre i tanto temuti logaritmi.
Dati due numeri positivi a e b (con a ≠ 1), definiamo logaritmo in base a del numero b l’esponente da attribuire alla base a per ottenere il numero b:
logab se e solo se ax=b
log24 =2 se e solo se 22=4
E adesso un po’ di proprietà di cui non potete fare a meno se volete essere più tranquilli il giorno del test:
- logab esiste se e solo se sono verificate tre condizioni: a > 0 a ≠ 1 b > 0
- il logaritmo di un numero negativo non esiste nell’insieme dei numeri reali
- il logaritmo dell’unità è sempre nullo, qualsiasi sia la base: loga1 =0 ↔a0=1
- il logaritmo della base è sempre uguale all’unità: a =1 ↔a1=a
- se a > 1, il logaritmo di un numero positivo minore di 1 è negativo, mentre quello di un numero positivo maggiore di 1 è positivo
- se 0 < a < 1, il logaritmo di un numero positivo minore di 1 è positivo, mentre quello di un numero positivo maggiore di 1 è negativo
- il logaritmo del quoziente di due numeri positivi è uguale alla differenza tra il logaritmo del numeratore e quello del denominatore: log(b/c) =logab-logac
- il logaritmo della potenza di un numero positivo è uguale al prodotto dell’esponente per il logaritmo della base della potenza: log(bm)=m*logab
- il logaritmo della radice di un numero positivo è uguale al prodotto reciproco dell’indice per il logaritmo del radicando: log(n√b) = 1/n*logab
- log x equivale a x
- ln x equivale a x , dove e è il numero di Nepero e vale circa 2,71828…
- + 2
- + 4
- √log28
- ± 2
- -1/2 ln 16+ 1/2 ln 16
- a = 0
- a = b
- b = 0
- a = 0 e b = 0
- a = 1/b