Grafici di funzioni lineari

Per definizione, una funzione associa due elementi appartenenti rispettivamente a due insiemi, che possiamo chiamare A e B, in modo tale che a ogni elemento di A sia associato uno ed un solo elemento di B.  Ogni funzione può essere rappresentata graficamente su un piano cartesiano. Una giusta comprensione dei grafici di funzioni è estremamente utile per la vostra preparazione al test; non soltanto perché potreste dover risolvere esercizi sui grafici, ma anche perché i grafici di funzione possono facilitarvi la vita in altri esercizi su funzioni e geometria analitica, e aiutarvi a consolidare la vostra comprensione di questi temi tanto importanti. Una funzione lineare è strutturata in questo modo: y=mx+q. Di fronte a questo tipo di equazioni, visualizzarne il grafico è sorprendentemente facile. Basta considerare che:

• il grafico di una funzione lineare, come il nome stesso suggerisce, è sempre una retta;
• m è il coefficiente angolare della retta. Indica cioè la sua inclinazione rispetto all’asse orizzontale; 
• q è l’ordinata all’origine, ossia il punto in cui la retta interseca l’asse delle y.

È possibile che a prima vista l’elemento di una funzione lineare più difficile da visualizzare graficamente sia il coefficiente angolare. In generale, maggiore è il coefficiente angolare in valore assoluto, più la retta tenderà ad essere parallela all’asse y. Viceversa, più il modulo del coefficiente angolare si avvicina a zero, più la retta tenderà ad essere orizzontale. Il segno del coefficiente angolare determina l’orientamento della retta, come mostrato dal seguente schema: Consideriamo alcuni casi limite:

• la funzione del tipo: y=qè  detta costante. La sua rappresentazione grafica sarà una retta orizzontale che interseca in q l’asse delle y. Notiamo che nel caso della funzione costante m=0.
• la funzione: y=x, avente cioè m=1, q=0, è detta funzione identica e la sua rappresentazione grafica è la bisettrice del primo e terzo quadrante.

consideriamo invece la funzione y=-x come la bisettrice del secondo e quarto quadrante. Questo caso è un utile riferimento nel caso in cui m sia negativo. Per capire meglio, ecco la rappresentazione di alcune funzioni lineari: Con questi semplici concetti in mente, riuscirete facilmente a visualizzare il grafico di una funzione lineare semplicemente leggendone l’espressione e, con il giusto esercizio, risolverete gli esercizi sulle funzioni lineari in un batter d’occhio.   Di seguito ecco qualche esercizio per mettervi alla prova:

ESERCIZIO 1

Nel piano cartesiano, una retta r interseca l’asse delle ordinate nel punto (0,7). Inoltre, l’angolo compreso tra r e la retta y=3 è di 45º, considerando l’angolo alla destra di r. Quale delle seguenti funzioni è rappresentata da tale retta? A. y=x-3 B. y=3x+7 C. y=x+7 D. y=-x-7 E. y=7x+1  

ESERCIZIO 2

Quale tra le seguenti rette forma l’angolo – considerando quello alla loro destra – più ampio con l’asse orizzontale del piano cartesiano? A. y=x B. y=-x+1/3 C. y=10x+3 D. y=-7x E. y=7x  

CORREZIONE COMMENTATA

ESERCIZIO 1

Il testo dell’esercizio ci dà tutte le informazioni necessarie per “costruire” l’espressione analitica della curva descritta. In primo luogo, dal momento che il testo si riferisce ad una retta, sappiamo che la funzione in questione è lineare. Il punto di intersezione con l’asse delle y indica il valore q, che in questo caso è 7. Siccome la retta y=3 è parallela all’asse delle x, l’angolo che essa  forma con r è lo stesso che r formerebbe con l’asse delle x; possiamo quindi ricavare il coefficiente angolare di r. Per ricavarlo occorre ricordare che il coefficiente angolare della funzione identica, y=x, è 1 e che l’angolo che essa forma con l’asse delle x è di 45º. Il coefficiente angolare di r è qunque 1. Mettendo insieme i pezzi: y=mx+q=(1)x+7 y=x+7. Risposta corretta C.  

ESERCIZIO 2

Per rispondere all’esercizio, è importante considerare l’orientamento delle rette nel piano cartesiano. Considerando che  esso è determinato dal segno del coefficiente angolare, teniamo a mente  che l’angolo con l’asse orizzontale sulla destra della retta y=x è minore di quello sulla destra della retta y=-x. Le opzioni A, C ed E  presentano rette con un coefficiente angolare positivo: l’angolo con l’asse orizzontale alla loro destra sarà in ogni caso minore o uguale a 90º, minore rispetto a quello alla destra delle rette con m negativo. Essendo il coefficiente angolare della retta y=-7x maggiore in valore assoluto di quello della retta y=-x+1/3, l’inclinazione di quest’ultima sarà meno ripida e l’angolo alla sua destra con l’asse orizzontale sarà maggiore. Risposta corretta B.