La regola di Cartesio

Come sappiamo, per sconfiggere il test bisogna essere veloci ed efficienti a risolvere gli esercizi. Per questo motivo scorciatoie, metodi o regole possono esservi di grande aiuto!   Nella Pillola di oggi affronteremo la regola di Cartesio, che consente di determinare il segno delle radici di un’equazione di secondo grado senza doverla necessariamente  risolvere. Spesso per risolvere i quesiti del test, infatti, non è strettamente necessario svolgere un’equazione per intero; la regola di Cartesio potrebbe tornarvi utile e permettervi di risolvere qualche esercizio in molto meno tempo.

Definizione

Come prima cosa, è bene ricordare che la regola di Cartesio può essere applicata solo se l’equazione di secondo grado è completa (ossia nella forma: ax2+bx+c = 0) e con il discriminante positivo (Δ > 0).   Ricordiamo, inoltre, le seguenti due definizioni utili. I tre coefficienti a, b, c di un’equazione di secondo grado completa presentano:

• una permanenza quando due coefficienti consecutivi hanno lo stesso segno
• una variazione quando due coefficienti consecutivi hanno segno opposto

  Definiamo a questo punto la regola di Cartesio. In un’equazione di secondo grado completa e con Δ > 0,

• ad ogni permanenza di segno nei coefficienti corrisponde una radice negativa;
• ad ogni variazione di segno nei coefficienti corrisponde una radice positiva.

Inoltre, se l’equazione risulta avere radici di segno opposto, la radice positiva ha il maggiore valore assoluto se la variazione precede la permanenza e viceversa se la permanenza precede la variazione.  

Applicazione

A primo impatto questa regola può sembrare complicata e difficile da ricordare, ma sicuramente dopo poca pratica vi rimarrà fissa in mente! Vediamo quindi un esempio. $$3x^2+3x-18=0$$ Vediamo subito che l’equazione in questione è completa. Possiamo calcolare il discriminante per verificare che sia positivo: $$\Delta = b^2-4ac=225$$ Osserviamo una permanenza di segno tra i coefficienti a e b e una variazione tra i coefficienti b e c. Le radici dell’equazione saranno dunque una positiva e una negativa. Poiché, inoltre, la permanenza precede la variazione, la radice con il valore assoluto maggiore sarà quella negativa. Verifichiamo: $$x_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{225}}{6}=\frac{-3\pm5}{6}\rightarrow x_1=2;x_2=-3$$  

Esercizi

Esercizio 1

Data l’equazione completa e con discriminante positivo  x2 – 3x + 2 = 0, quale delle seguenti opzioni è corretta?

1. L’equazione non ammette soluzioni reali
2. L’equazione ammette solo soluzioni positive
3. L’equazione ammette due soluzioni coincidenti positive
4. L’equazione ammette solo soluzioni negative
5. L’equazione ammette due soluzioni coincidenti negative

Correzione commentata

Sapendo che il Δ è positivo, possiamo escludere subito le opzioni A, C ed E. Ricordiamo infatti che se il discriminante di un’equazione di secondo grado è positivo, essa ammetterà due soluzioni reali distinte. Rifacendoci alla regola di Cartesio, notiamo che i coefficienti dell’equazione presentano due variazioni di segni; le due soluzioni saranno quindi entrambe positive. RISPOSTA CORRETTA B  

Esercizio 2

Quale tra le seguenti equazioni ammette due soluzioni reali di segno opposto, delle quali quella positiva con il valore assoluto maggiore?

1. 2x2+3x+1 = 0
2. 3x + x4 = 10
3. x2– 6x = – 5
4. 3x2 – 3x + 18 = 0
5. x2 – 4x – 4 = 0

Correzione commentata

Possiamo risolvere questo quesito senza quasi fare alcun calcolo. Escludiamo a priori l’opzione B, che presenta una equazione non completa di quarto grado. L’opzione D non ammette soluzioni reali, escludiamo quindi anche quella. Pur supponendo che le equazioni proposte dalle opzioni A e C abbiamo discriminante positivo, esse non corrisponderebbero alla descrizione richiesta dal testo del questio. Applicando la regola di Cartesio, infatti, l’equazione A risulterebbe avere due soluzioni entrambe negative e l’opzione C due soluzioni entrambe positive.  L’opzione corretta è dunque la E: applicando la regola di Cartesio possiamo concludere che essa ammette due soluzioni reali una positiva ed una negativa. Essendo che la variazione precede la permanenza, la soluzione positiva avrà un valore assoluto maggiore. RISPOSTA CORRETTA E